Orthogonalité de deux droites de l'espace

Définitions

• S oit  \(d_1\) une droite de l'espace de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\)   et \(d_2\) une droite de l'espace de vecteur directeur  \(\overrightarrow{v}\) .  Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont dites orthogonales si \(\overrightarrow{u}\)   et  \(\overrightarrow{v}\)   sont orthogonaux.
  
• Deux droites de l'espace sont perpendiculaires lorsqu'elles sont orthogonales et sécantes.
  

Remarque

Si deux droites de l'espace sont perpendiculaires alors elles sont orthogonales. La réciproque est fausse.

Propriété

Deux droites \(d_1\) et \(d_2\) de l'espace sont orthogonales si et seulement s'il existe une droite \(d\) parallèle à \(d_1\) et perpendiculaire à  \(d_2\) .

Exemple

Soit  \(\mathrm{ABCDEFGH}\)  le cube suivant.

• Les droites \(\mathrm{(EF)}\) et \(\mathrm{(FG)}\) sont perpendiculaires.
  
• Les droites \(\mathrm{(AD)}\) et   \(\mathrm{(EF)}\)   sont orthogonales. En effet, \(\mathrm{(AD)/\!/(FG)}\) et \(\mathrm{(EF)\perp (FG)}\) .
  

Propriétés

• Si deux droites de l'espace sont parallèles, alors toute droite de l'espace orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
  
• Si deux droites de l'espace sont orthogonales, alors toute droite de l'espace parallèle à l'une est orthogonale à l'autre.